nemuchtorstont.ru

Verstaan ​​analise

Analise (ook wel calculus) is `n tak van die wiskunde gefokus op perke, funksies, afgeleides, integrale en oneindige reekse. Hierdie onderwerp behels `n groot deel van die wiskunde, en lê ten grondslag aan baie van die formules en vergelykings wat gebruik word binne die fisika en meganika. Jy sal waarskynlik `n paar jaar wiskunde moet gehad het op die hoërskool om analise goed te kan verstaan, maar dit artikel sal jy op pad help by die leer herken van die belangrikste konsepte, sowel as `n beter begrip van die teorie.

stappe

Deel 1
Die basis van analise

Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 1
1
Ontleding is die studie van hoe dinge verander. Analise is `n tak van die wiskunde welke navorsing doen na getalle en grafieke, meestal afkomstig van data uit die werklike wêreld, en uiteensetting hoe die verander. Hoewel dit aanvanklik nie so nuttig blyk, is analise een van die mees gebruikte takke van die wiskunde. Stel jou voor dat jy beskik oor die gereedskap wat jy kan vertel hoe vinnig jy onderneming groei op `n gegewe tyd, of vir die uitsit van die koers van `n ruimteskip, en hoe vinnig die brandstof verbruik word. Analise is `n belangrike hulpmiddel in die tegniek, ekonomie, statistiek, chemie en fisika, en het `n bydrae gelewer aan baie uitvindsels en ontdekkings.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 2
    2
    Funksies is verhoudings tussen twee getalle en word gebruik vir die kartering van verhoudings. Hulle is reëls vir die verhouding tussen getalle, en wiskundiges gebruik hulle om grafieke te skep. In `n funksie het elke inskrywing presies een uitkoms. Byvoorbeeld: in y=2x+4,{ displaystyle y = 2x + 4,}gee elke waarde van x{ displaystyle x}`n nuwe waarde van voorheen y.{ displaystyle y.}indien x=2,{ displaystyle x = 2,}dan is y=8.{ displaystyle y = 8.}indien x=10,{ displaystyle x = 10,},dan y=24.{ displaystyle y = 24.}Analise ondersoek altyd funksies en hoe hulle verander, waardeur hierdie funksies gebruik word om verhoudings te kaarteer.
  • Kenmerke word dikwels geskryf as f(x)=x+3.{ displaystyle f (x) = x + 3.}Dit beteken dat die funksie f(x){ displaystyle f (x)}voeg altyd 3 by die nommer waarvoor jy is x{ displaystyle x}vul in. Gee jou 2, dan skryf jy neer f(2)=(2)+3,{ displaystyle f (2) = (2) +3,}of f(2)=5.{ displaystyle f (2) = 5.}
  • Funksies kan ook komplekse bewegings vertoon. NASA het byvoorbeeld `n funksie om die spoed van `n vuurpyl te beskryf, gebaseer op die spoed van brandstofverbruik, die windweerstand en die gewig van die vuurpyl.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 3
    3
    Dink aan die konsep van oneindigheid. Oneindigheid is `n proses wat voortdurend herhaal word. Dit is nie `n spesifieke plek nie (jy kan nie oneindig nie), maar eerder die gedrag van `n getal of vergelyking, as dit vir ewig gedoen word. Dit is belangrik vir die studie van verandering: jy wil dalk weet hoe vinnig jou motor op `n gegewe oomblik beweeg, maar is dit hoe vinnig jou motor dryf gedurende die huidige tweede? Millisekonde? Nano sekonde? U kan oneindig kleiner stukke tyd vind om selfs meer presies te wees, en dit is die oomblik dat die analise sy voorkoms uitmaak.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 4
    4
    Verstaan ​​die konsep limiete. `N Beperking vertel jou wat gebeur wanneer iets oneindig benader. Neem die nommer 1 en verdeel dit. 2. Gaan voort om met 2 keer oor te deel. 1 word ½ en dan 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ens. Elke keer as die getal kleiner en kleiner word, `nader` nul. Maar waar stop dit? Hoeveel keer moet jy 1 by 2 verdeel om nul te kry? In plaas daarvan om hierdie vraag te beantwoord, stel een voor in die analise limiet In hierdie geval is die limiet.
  • Limiete is maklikste om sigbaar te maak in `n grafiek. Byvoorbeeld, is daar punte wat amper aan `n grafiek raak, maar glad nie?
  • Limiete kan getal, oneindig of selfs nie bestaan ​​nie. Byvoorbeeld, met die toevoegingsvolgorde 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... en dit bly oneindig, word die finale getal oneindig groot. Die limiet word dan oneindig.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 5
    5
    Oorweeg die noodsaaklike wiskundige konsepte van algebra, trigonometrie en die basiese kennis van wiskunde. Ontleding berus op baie van die wiskunde wat jy voorheen geleer het. Deur goed ingelig te wees oor alle vakke, word dit baie makliker om analise te leer en verstaan. `N Aantal onderwerpe om die kennis van kennis te verfris, is:
  • algebra. U moet die verskillende prosesse verstaan ​​en vergelykings en stelsels vergelykings oplos met verskeie veranderlikes. Verstaan ​​die basiese kennis van versamelings. Oefen grafieke.
  • Meetkunde. Meetkunde is die studie van vorms. Jy moet die basiese kennis van driehoeke, reghoeke en sirkels hê, en hoe om dinge soos die omtrek en area te bereken. Maak seker jy verstaan ​​hoeke, lyne en koördinate
  • driehoeksmeting. Trigonometrie is die tak van wiskunde wat handel oor die eienskappe van sirkels en reguit driehoeke. Maak seker jy weet hoe om trigonometriese identiteite, grafieke, funksies en inverse trigonometriese funksies te gebruik.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 6
    6
    Koop `n grafiese sakrekenaar. Ontleding is nie maklik om te verstaan ​​sonder om te sien wat jy doen nie. Grafiese sakrekenaars maak funksies visueel, sodat jy beter kan verstaan ​​watter soort vergelykings jy hanteer. Dikwels word die grense ook op die skerm vertoon, en die afgeleides en funksies word outomaties bereken.
  • Baie slimfone en tablette bied deesdae goedkoop, maar effektiewe programme om grafieke te skep, as jy nie `n grafiese sakrekenaar wil hê of kan koop nie.

    • Deel 2
    Verstaan ​​afgeleides

    Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 7
    1
    Analise word gebruik om `verandering op `n spesifieke tydstip` te bestudeer. Om te weet waarom iets op `n presiese oomblik verander, is die kern van analise. Analise gee byvoorbeeld nie net die spoed van `n motor nie, maar ook hoeveel die spoed op `n sekere oomblik verander. Dit is een van die eenvoudigste toepassings van analise, maar baie belangrik. Stel jou voor hoe belangrik hierdie inligting is om die spoed te bepaal wat nodig is om `n ruimteskip na die maan te kry!
    • Bepaling van verandering op enige gegewe tydstip het onderskei. Onderskeiding is die eerste van die twee hoof takke van analise.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 8
    2
    Gebruik afgeleides om te verstaan ​​hoe dinge op `n sekere oomblik verander. `N` afgeleide `is `n goeie woord vir iets wat studente dikwels senuwee maak. Die konsep self is egter nie so moeilik om te verstaan ​​nie - dit beteken eenvoudig `hoe vinnig iets verander`. Die afgeleides wat jy die meeste in die daaglikse lewe sal ervaar, het te make met spoed. Jy noem dit gewoonlik nie `die afgeleide van spoed` nie, maar bloot `versnelling`.
  • Versnelling is `n afgeleide-dit vertel jou hoe vinnig iets versnel of vertraag, of hoe die spoed verander.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 9
    3
    Weet dat die mate van verandering gelyk is aan die helling tussen twee punte. Dit is een van die belangrikste ontdekkings van analise. Die mate van verandering tussen twee punte is gelyk aan die helling van die lyn tussen hierdie twee punte. Dink net aan `n eenvoudige lyn, soos dié van die vergelyking y=3x.{ displaystyle y = 3x.}Die helling van die lyn is 3, wat beteken dat vir elke nuwe waarde van x,{ displaystyle x,}y{ displaystyle y}verander met 3. Die helling is dieselfde as die mate van verandering: `n helling van drie beteken dat die lyn met 3 verander (drie keer groei) vir elke verandering in x.{ displaystyle x.}wanneer x=2,y=6-{ displaystyle x = 2, y = 6-}wanneer x=3,y=9.{ displaystyle x = 3, y = 9.}
  • Die helling van die lyn is die verandering in y gedeel deur die verandering in x `.`
  • Hoe groter die helling die helling, hoe steiler die lyn. Steil lyne verander dus vir `n vinnige verandering.
  • Vars jou kennis op om die helling van `n lyn te bepaal as dit gedaal het.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 10
    4
    Weet dat jy die helling van geboë lyne kan bepaal. Die bepaling van die helling van `n reguitlyn is relatief eenvoudig: hoeveel verander dit y{ displaystyle y}vir elke waarde van x?{ displaystyle x?}Maar komplekse vergelykings soos y=x2{ displaystyle y = x ^ {2}}vir `n kromme, is baie moeiliker om te bepaal. Jy kan egter steeds die mate van verandering tussen twee punte bepaal - teken net `n lyn tussen die twee punte en bereken die helling.
  • Byvoorbeeld, in y=x2,{ displaystyle y = x ^ {2},}jy kan enige twee punte kies en die helling bereken. neem (1,1){ displaystyle (1,1)}en (2,4).{ displaystyle (2,4).}Die helling tussen hierdie punte word dan gelyk aan 4-12-1=42=2.{ displaystyle { frac {4-1} {2-1}} = { frac {4} {2}} = 2.}Dit beteken dat die verandering tussen x=1{ displaystyle x = 1}en x=2{ displaystyle x = 2}is gelyk aan 2.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 11
    5
    As jy die verandering meer akkuraat wil bereken, maak seker dat die punte nader aan mekaar is. Hoe nader jy die twee punte saam kies, hoe meer akkuraat is jou antwoord. Gestel jy wil weet hoeveel jou motor versnel wanneer jy die versneller druk. Jy wil nie die spoedverandering tussen jou huis en die supermark meet nie, maar die verandering in spoed vanaf die oomblik dat jy op die versneller stap. Hoe nader jou metingswaarde tot daardie breuk van `n sekonde kom, hoe meer akkuraat is jou berekening van die verandering.
  • Byvoorbeeld, wetenskaplikes ondersoek hoe vinnig sommige spesies sterf om hulle te red. Daar sterf egter meer diere in die winter as in die somer, dus is dit nie nuttig om die mate van verandering oor die hele jaar te bestudeer - beter is dit om die mate van verandering te bepaal binne `n kleiner tydperk, soos vanaf 1 Julie tot 1 Augustus.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 12
    6
    Maak gebruik van oneindige kort lyne om die `oombliklike spoed van verandering` te bepaal of om die afgeleide te vind. Dit is waar analise dikwels verwarrend is, maar dit is eintlik die gevolg van twee eenvoudige feite. Eerstens weet jy dat die helling van `n lyn gelyk is aan hoe vinnig die lyn verander. Tweedens, jy weet dat hoe nader die punte van die lyn, hoe meer akkuraat die gemeet waarde sal word. Maar hoe vind jy die mate van verandering op `n gegewe punt as die helling die verhouding tussen twee punte is? Die antwoord: Jy kies twee punte wat oneindig naby is.
  • Dink aan die voorbeeld waar jy bly 1 deur 2, en kry dus 1/2, 1/4, 1/8, ens. Uiteindelik sal u naby nul kom en die antwoord is dan byna nul. Hier is die punte so naby aan mekaar dat hulle amper gelyk is aan mekaar. Dit is die aard van afgeleides.


  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 13
    7
    Leer hoe om verskillende afgeleides te bepaal. Daar is `n klomp verskillende tegnieke vir die vind van `n afgeleide, afhangende van die vergelyking, maar die meeste van hulle is logies as jy die basiese beginsels van afgeleides hierbo teruggehou het nie. Alle afgeleides is `n manier om die helling van `n `oneindig klein` lyn te vind. Noudat jy meer weet oor die teorie van afgeleides, bestaan ​​`n groot deel van die werk uit die vind van die antwoorde.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 14
    8
    Bepaal die afgeleide vergelykings om die tempo van verandering te eniger tyd te voorspel. Dit is nuttig om die mate van verandering op enige gegewe tydstip te bepaal met behulp van afgeleides, maar die skoonheid van analise is dat jy `n nuwe model vir elke funksie kan skep. Die afgeleide van y=x2,{ displaystyle y = x ^ {2},}is byvoorbeeld y`=2x.{ displaystyle y ^ { prime} = 2x.}Dit beteken dat jy die afgeleide vir elke punt op `n grafiek kan bepaal y=x2{ displaystyle y = x ^ {2}}deur in die afgeleide te vervang. Op die punt (2,4),{ displaystyle (2,4),}waarby x=2,{ displaystyle x = 2,}is die afgeleide 4 omdat y`=2(2).{ displaystyle y ^ { prime} = 2 (2).}
  • Daar is verskillende notasies vir afgeleides. In die vorige stap is afgeleides aangedui met `n dak - die afgeleide van y,{ displaystyle y,}let dan op jouself as y`.{ displaystyle y ^ { prime}.}Dit word die notasie van Lagrange genoem.
  • Daar is `n ander manier wat dikwels gebruik word om afgeleides af te skryf. In plaas van `n dak, let op ddx.{ displaystyle { frac { mathrm {d}} {{mathrm {d}} x}}.}Moenie daardie funksie vergeet nie y=x2{ displaystyle y = x ^ {2}}hang af van die veranderlike x.{ displaystyle x.}So skryf ons die afgeleide as dydx{ displaystyle { frac {{mathrm {d}} y} {{mathrm {d}} x}}}- die afgeleide van y{ displaystyle y}tot x.{ displaystyle x.}Dit word die notasie van Leibniz genoem.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 15
    9
    Probeer om praktiese voorbeelde van afgeleides te onthou as jy dit moeilik vind om te verstaan. Die eenvoudigste voorbeeld is gebaseer op spoed, wat baie verskillende afgeleides insluit wat ons elke dag ervaar. Moenie vergeet nie: `n afgeleide is `n mate van hoe vinnig iets verander. Dink aan `n eenvoudige eksperiment. Jy rol `n marmer op `n tafel en meet hoe ver dit beweeg elke keer en hoe vinnig. Stel jou nou voor dat die rollende marmer `n lyn op `n grafiek volg - jy gebruik afgeleides om die huidige veranderinge te eniger tyd op die lyn te meet.
  • Hoe vinnig beweeg die marmer? Met watter spoed verander die posisie (of afgeleide) van die bewegende marmerverandering? Ons noem hierdie afgeleide `spoed`.
  • Rol die marmer langs `n helling en kyk hoe die spoed verander. Wat is die mate van verandering, of afgeleide, van die spoed van die marmer? Hierdie afgeleide is wat ons `versnelling` noem.
  • Rol die marmer langs `n golwebaan, soos `n rollercoaster. Tot watter mate kry die marmer spoed wanneer dit afrol en in watter mate vertraag die marmer? Hoe vinnig gaan die marmer presies wanneer dit halfpad op die eerste heuwel is? Dit is die oombliklike veranderingskoers, of die afgeleide, van daardie marmer by daardie een spesifieke punt.

    • Deel 3
    Verstaan ​​integrale

    Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 16
    1
    Weet dat jy analise kan gebruik om komplekse oppervlaktes en volumes te vind. Met analise kan jy komplekse vorms meet wat andersins moeilik is om te meet. Dink byvoorbeeld aan die opgawe wat jy wil weet hoeveel water `n lang, onreëlmatige gevormde meer bevat - dit is onmoontlik om elke liter water apart te meet of `n liniaal te gebruik vir die opmeten van die vorm van die meer. Met analise kan jy studeer hoe die rande van die meer verander, en gebruik dan die inligting om uit te vind hoeveel water dit bevat.
    • Maak meetkundige modelle en die studie van volumes integreer. Integrale berekening is die tweede belangrike tak van die analise.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 17
    2
    Weet dat integrasie die gebied onder `n grafiek is. Integrasie word gebruik om die ruimte onder `n lyn te meet, waarmee jy die oppervlak van vreemde of onreëlmatige vorms kan bepaal. Neem die vergelyking y=4-x2,{ displaystyle y = 4-x ^ {2},}Dit lyk soos `n omgekeerde `U`. U kan bereken hoeveel ruimte onder die U teenwoordig is met behulp van integrale berekening. Miskien wonder jy wat die nut daarvan is, maar dink dan eens aan die gebruik daarvan in die produksie - jy kan `n funksie maak wat lyk soos `n nuwe onderdeel, en integraalrekenen gebruik om die oppervlakte van dat deel te bepaal, en om jou te help om die regte hoeveelheid materiaal te bestel.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 18
    3
    Weet dat jy `n area moet kies om te integreer. Jy kan nie net `n hele funksie integreer nie. Byvoorbeeld, y=x{ displaystyle y = x}is `n diagonale lyn wat vir ewig aan die gang is, en jy kan nie die hele ding integreer nie, want dit sal nooit ophou nie. Wanneer u funksies integreer, moet u `n area kies, soos alle punte tusseninx=2{ displaystyle x = 2}en x=5.{ displaystyle x = 5.}
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 19
    4
    Dink aan hoe jy die oppervlakte van `n reghoek bereken. Stel jou voor dat jy `n plat lyn bo `n grafiek het, soos y=4.{ displaystyle y = 4.}Om die gebied onder te bepaal, bepaal jy die area van `n reghoek tussen y=0{ displaystyle y = 0}en y=4.{ displaystyle y = 4.}Dit is maklik om te meet, maar met golwende lyne sal dit nie werk nie, want jy kan dit nie maklik regkry nie.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 20
    5
    Weet dat met integrale calculus baie klein reghoeke bymekaar getel word om die gebied van `n gebied te vind. As jy `n kromme enorm vergroot, lyk dit soos `n reguit lyn. Jy sien dit elke dag - jy kan nie die kromming van die aarde sien nie, want jy is so naby aan die aardoppervlak. Integrasie skep `n oneindige aantal klein reghoeke onder `n kromme wat so klein is dat hulle basies plat is, sodat jy dit kan tel. Al hierdie reghoeke bymekaar vorm die gebied van die gebied onder `n kromme.
  • Veronderstel jy voeg `n klomp klein segmente onder die grafiek op, en dat die breedte van elke segment byna is nul.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 21
    6
    Weet hoe om integrasies op die regte manier te lees en aan te teken. Integrale bestaan ​​uit 4 dele. `N Tipiese integraal lyk soos volg:

    ∫f(x)dx{ displaystyle int f (x) { mathrm {d}} x}
  • Die eerste simbool, ∫,{ displaystyle int,}is die simbool vir integrasie (dit is eintlik `n verlengde S).
  • Die tweede deel, f(x),{ displaystyle f (x),}is die funksie. As dit binne die integraal is, word dit die integrand.
  • En uiteindelik die dx{ displaystyle { mathrm {d}} x}Aan die einde, wat vertel jou watter veranderlike jy integreer en wat. Omdat die funksie f(x){ displaystyle f (x)}hang af van x,{ displaystyle x,}is dit met betrekking tot wat jy integreer.
  • Onthou, die veranderlike wat jy integreer, is nie altyd nie x,{ displaystyle x,}sal wees, wees dus versigtig wat jy oplet.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 22
    7
    Kom meer te wete oor die vind van integrale. Integrale berekening kom in baie opsigte voor, en jy moet baie verskillende formules leer om elke funksie te integreer. Hulle volg egter almal die bogenoemde beginsels: integrasie is die som van `n oneindige aantal dinge.
  • Integreer deur substitusie.
  • Bereken onbepaalde integrale.
  • Integreer deur te deel.
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 23
    8
    Weet dat integrasie die teenoorgestelde van differensiasie is, en omgekeerd. Dit is `n duim van die analise wat so belangrik is dat dit sy eie naam gegee het: die hoofstelling van die integrale rekening. Aangesien integrasie en differensiasie so nou verwant is, kan `n kombinasie van die twee gebruik word om die mate van verandering, versnelling, spoed, ligging, beweging, ens. Te bepaal, ongeag watter inligting jy het.
  • Onthou byvoorbeeld dat die afgeleide van spoed die versnelling is, so jy kan spoed gebruik om die versnelling te vind. Maar as jy net die versnelling van iets weet (soos voorwerpe wat as gevolg van swaartekrag val), dan kan jy integreer om die spoed weer te bepaal!
  • Prent getiteld Verstaan ​​Calculus Stap 24
    9
    Weet dat met integrasie jy ook die volume van 3D-voorwerpe kan bepaal. Om `n plat vorm om te draai, is `n manier om 3D-liggame te maak. Dink net aan `n muntstuk op die tafel wat ronddraai - let op hoe die muntstuk die vorm van `n bol lyk terwyl dit draai. Met hierdie konsep kan jy die volume bepaal volgens `n proses wat bekend staan ​​as `volume deur rotasie`.
  • Dit laat jou toe om die volume van elke vaste stof te bepaal, solank jy `n funksie het wat dit verteenwoordig. Byvoorbeeld, jy kan `n funksie skep wat onderaan `n meer volg, en gebruik dan die volume van die meer, of hoeveel water dit bevat.

    • wenke

    • Oefening baar kuns, dus doen die oefenopgaven in jou handboek - selfs diegene wat jou onderwyser nie opgegee het - en maak seker jou antwoorde, sodat jy die konsepte beter leer verstaan.
    • As jy nie êrens vandaan kom nie, vra jou onderwyser.
    Deel op sosiale netwerke:

    Verwante