nemuchtorstont.ru

Voeg die nommers van 1 tot N saam

Heeltalles is heelgetalle sonder breuke of desimale. As `n wiskundige probleem vereis dat jy die som van `n aantal heelgetalle van 1 na `n gegewe waarde van N bereken, is dit nie nodig om elke waarde handmatig by te voeg nie. Gebruik eerder die vergelyking om tyd en moeite te bespaar (N (N + 1)) / 2

, waar N staan ​​vir die hoogste getal in die reeks.

stappe

Prent getiteld Som die integrale van 1 tot N Stap 1 op
1
Definieer die grootste heelgetal as N. Wanneer heelgetalle van 1 na `n gegewe getal bygevoeg word N, jy moet self `n positiewe heelgetal definieer. N is `n heelgetal en kan dus nie `n desimale getal of breuk wees nie. N kan ook nie negatief wees nie.
  • As voorbeeld, sê ons dat ons alle heelgetalle van 1 tot 100 wil byvoeg. In hierdie geval is 100 die waarde vir N, want dit is die laaste nommer in ons reeks, of met ander woorde, die grootste getal van die byvoeging.
  • Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 2 op
    2
    Vermenigvuldig N (N + 1) en verdeel met 2. Wanneer u die waarde van N gedefinieer het, pas hierdie waarde toe op die vergelyking (N (N + 1)) / 2. Hierdie vergelyking vind die som van alle heelgetalle tussen 1 en N.
  • In ons voorbeeld betree ons 100, die waarde vir N, in die vergelyking. (N (N + 1)) / 2 word dan (100 (100 + 1)) / 2.
  • Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 3 op
    3
    Bereken die antwoord. Die finale waarde van hierdie vergelyking is die som van alle getalle tussen 1 en N.
  • Kom ons los hierdie voorbeeld op.
  • (100 (100 +1)) / 2 =
  • (100 (101)) / 2 =
  • (10100) / 2 =
  • 5050. is die som van alle heelgetalle van 1 tot 100 5050.
  • Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 4 op
    4
    Verstaan ​​hoe die vergelyking (N (N + 1)) / 2 afgelei word. Bekyk weer die voorbeeld probleem. Verdeel hierdie volgorde 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 in twee groepe - van 1 tot 50 en een van 51 tot 100. As jy die eerste nommer in die eerste groep (1) by die Laaste nommer in die tweede groep (100), jy kry 101. Jy kry dieselfde antwoord (101) by 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97, ensovoorts. As ons elke nommer in die eerste groep by die ooreenstemmende getal in die tweede groep voeg, eindig ons met 50 pare getalle met dieselfde som: 101. Dus, 50 x 101 = 5050, die som vir die heelgetalle van 1 tot 100. Let daarop dat 50 die helfte van 100 is, en dat 101 100 + 1 is. Hierdie waarneming is wel van toepassing op die som van elke positiewe heelgetal. Die byvoeging van die komponente kan in twee groepe verdeel word, en die getalle in hierdie groepe kan op so `n manier aan mekaar toegeken word dat elke paar dieselfde som het. Let daarop dat met `n vreemde volgorde van heelgetalle een nommer oorbly - dit het geen effek op die finale antwoord nie.
  • Oor die algemeen kan ons sê dat vir elke getal N die som van die getalle van 1 tot N gelyk is aan (N / 2) (N + 1). Die vereenvoudigde vorm van hierdie vergelyking is (N (N + 1)) / 2, die vergelyking van die som van heelgetalle.


    • Gebruik die som van 1 tot N om die som van twee heelgetalle te bepaal

    Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 5 op
    1
    Besluit of jy inklusief of eksklusief byvoeg. Dikwels is dit nie die bedoeling om die som van `n reeks heelgetalle van 1 na `n gegewe getal te bepaal nie, maar u sal gevra word om die som van `n reeks heelgetalle te vind. tussen twee heelgetalle N1 en N2, waar N1 > N2 en albei > 1 wees. Die proses om hierdie som te vind is relatief eenvoudig, maar voordat ons daarmee begin, moet ons besluit of die som inklusief of eksklusief is - met ander woorde, of die N1 en N2 sluit of alleen die heelgetalle tussen hulle, want die prosedure verskil effens van mekaar in hierdie gevalle.
  • Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 6 op
    2
    Om die som van die heelgetalle tussen twee getalle N te bepaal1 en N2 ons bepaal eers die som van elke waarde van N afsonderlik en trek dit af. Oor die algemeen moet jy slegs die som van die kleiner N-waarde van die som van die groter N-waarde aftrek om die antwoord te vind. egter, Soos reeds hierbo aangedui, is dit belangrik om te weet of hierdie toevoeging inklusief of eksklusief is. Insluitend byvoeging vereis dat jy 1 van die waarde van N afgetrek2 voordat jy dit in die vergelyking invoer, terwyl eksklusiewe optel vereis dat jy 1 van die waarde vir N trek1.
  • Kom ons sê dit word gevra vir die inklusiewe Som van die heelgetalle tussen N1 = 100 en N2 = 75. Met ander woorde, ons moet die som van die ry 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 vind. Hiervolgens neem ons die som van die heelgetalle van 1 na N1, en trek die som van die heelgetalle van 1 na N af2 - 1 (onthou dat ons 1 by N optel en aftrek2), en werk dit soos volg uit:
  • (N1(N1 + 1)) / 2 - ((N2-1) ((N2-1) + 1)) / 2 =
  • (100 (100 +1)) / 2 - (74 (74 +1)) / 2 =
  • 5050 - (74 (75)) / 2 =
  • 5050 - 5550/2 =
  • 5050 - 2775 = 2275. Die inklusiewe som van die heelgetalle is tussen 75 en 100 2275.
  • Kom ons nou eksklusief begin tel. Die vergelyking bly dieselfde, behalwe dat ons in hierdie geval 1 van N aflei1 in plaas van N2:
  • ((N1-1) ((N1-1) + 1)) / 2 - (N2(N2 + 1)) / 2 =
  • (99 (99 +1)) / 2 - (75 (75 +1)) / 2 =
  • (99 (100)) / 2 - (75 (76)) / 2 =
  • 9900/2 - 5700/2 =
  • 4950 - 2850 = 2100. Die eksklusiewe som van die heelgetalle tussen 75 en 100 is 2100.
  • Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 7 op
    3
    Verstaan ​​waarom hierdie proses werk. Beskou die som van die heelgetalle van 1 tot 100 as 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 en die som van die heelgetalle van 1 tot 75 as 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75. Die inklusiewe som van die heelgetalle van 75 tot 100 beteken 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Die som van 1-75 en 1-100 is dieselfde as een met 75 - op daardie stadium word die som van 1-75 `stop` en die som van 1 - 100 gaan voort, met ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Daarom, die som van die heelgetalle van 1-75 van die som van die heelgetalle van 1-100 onse is die moontlikheid om die som van die heelgetalle van 75-100 afsonderlik te plaas.
  • As ons egter optel, moet ons die som van 1-74 in plaas van die som van 1-75 gebruik om te verseker dat 75 in die finale som ingesluit word.
  • Net so, in eksklusiewe toevoeging, gebruik ons ​​die som van 1-99, in plaas van die som van 1-100, om te verseker dat 100 nie in die som ingesluit word nie. Ons kan die som van 1-75 gebruik, aangesien hierdie som van die som van 1-99 afgetrek word, sluit die nommer 75 uit ons finale som.

    • wenke

    • Die resultaat is altyd `n heelgetal, want n of n + 1 is ewe en kan dus verdeel word deur 2.
    • In kort: SUM (1 tot n) = n (n + 1) / 2
    • SUM (a tot b) = SUM (1 tot b) - SUM (1 tot a-1).

    waarskuwings

    • Alhoewel veralgemenings tot negatiewe getalle nie baie moeilik is nie, is hierdie verduideliking beperk tot alle positiewe heelgetalle N, waar N minstens 1 is.
    Deel op sosiale netwerke:

    Verwante