nemuchtorstont.ru

Probleemoplossing van trigonometriese vergelykings

`N trigonometriese vergelyking is `n vergelyking met een of meer trigonometriese funksies van die veranderlike trigonometriese kurwe x. Oplossing vir x beteken die vind van die waardes van die trigonometriese kurwes waarvan die trigonometriese funksies verseker dat die trigonometriese vergelyking waar is.

  • Antwoorde of waardes van die oplossingskrommes word uitgedruk in grade of radiale. voorbeelde:

x = Pi / 3 - x = 5Pi / 6 - x = 3Pi / 2 - x = 45 grade - x = 37.12 grade - x = 178.37 grade

  • Let wel: Op die eenheidsirkel is die trigonometriese funksies van enige kromme gelyk aan die trigonometriese funksies van die ooreenstemmende hoek. Die eenheidsirkel definieer alle trigonometriese funksies van die veranderlike kurwe x. Dit word ook gebruik as bewys in die oplos van trigonometriese basiese vergelykings en ongelykhede.
  • Voorbeelde van trigonometriese vergelykings:
  • sin x + sin 2x = 1/2 - bruin x + cot x = 1,732 -
  • cos 3x + sin 2x = cos x - 2sin 2x + cos x = 1.
  1. Die eenheidsirkel.
  2. Hierdie is `n sirkel met Radius = 1, waar O die oorsprong is. Die eenheidsirkel definieer 4 trigonometriese hooffunksies van die veranderlike kurwe x, wat rondom die klok omring.
  3. As die kromme met waarde x op die eenheidsirkel wissel, dan:
  4. Die horisontale as OAx definieer die trigonometriese funksie f (x) = cos x.
  5. Die vertikale as OBy definieer die trigonometriese funksie f (x) = sin x.
  6. Die vertikale as AT definieer die trigonometriese funksie f (x) = tan x.
  7. Die horisontale as BU definieer die trigonometriese funksie f (x) = cot x.
  • Die eenheidscirkel word ook gebruik vir die oplos van trigonometriese basisvergelijkingen en standaard trigonometriese ongelykhede, deur die diverse posisies van de kromme x op die sirkel te oorweeg.

stappe

Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 1
1
Verstaan ​​die oplossing metode.
  • Om `n trigonometriese vergelyking op te los, omskep dit in een of meer trigonometriese basiese vergelykings. Die oplos van trigonometriese vergelykings lei uiteindelik tot die oplos van 4 trigonometriese basiese vergelykings.
  • Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 2
    2
    Weet hoe om trigonometriese basiese vergelykings op te los.
  • Daar is 4 trigonometriese basiese vergelykings:
  • sonde x = a - cos x = a
  • tan x = a - cot x = a
  • Die oplossing van die trigonometriese basisvergelijkingen doen jy deur die bestudering van die verskillende posisies van die krom x op die trigonometriese sirkel en middels die gebruik van `n trigonometriese conversietabel (of sakrekenaar). Om ten volle te verstaan ​​hoe om hierdie en soortgelyke trigonometriese basiese vergelykings op te los, kan u die volgende boek hersien:"Trigonometrie: Oplossing van trigonometriese vergelykings en ongelykhede" (Amazon E-boek 2010).
  • Voorbeeld 1. Los op vir sonde x = 0.866. Die omskakelingstabel (of sakrekenaar) gee die antwoord: x = Pi / 3. Die trigonometriese sirkel gee `n ander kromme (2Pi / 3) met dieselfde waarde vir die sinus (0.866). Die trigonometriese sirkel gee ook `n oneindigheid van antwoorde wat uitgebreide antwoorde genoem word.
  • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, en x2 = 2Pi / 3. (Antwoorde binne `n tydperk (0, 2Pi))
  • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, en x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Uitgebreide antwoorde).
  • Voorbeeld 2. Los op: cos x = -1/2. Sakrekenaars gee x = 2 Pi / 3. Die trigonometriese sirkel gee ook x = -2Pi / 3.
  • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, en x2 = - 2Pi / 3. (Antwoorde vir periode (0, 2Pi))
  • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, en x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Uitgebreide antwoorde)
  • Voorbeeld 3. Los op: tan (x - Pi / 4) = 0.
  • x = Pi / 4 - (Antwoord)
  • x = Pi / 4 + k Pi- (Uitgebreide antwoord)
  • Voorbeeld 4. Los op: bed 2x = 1.732. Sakrekenaars en die trigonometriese sirkel dui aan:
  • x = Pi / 12 - (Antwoord)
  • x = Pi / 12 + k Pi - (Uitgebreide antwoorde)
  • Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 3
    3
    Leer die transformasies wat gebruik word om trigonometriese vergelykings op te los.
  • Om `n gegewe trigonometriese vergelyking om te reken na standaard trigonometriese vergelykings, gebruik jou standaard algebraïese omrekeningen (factoriseren, gemeenskaplike faktor, polinome ...), definisies en eienskappe van trigonometriese funksies en trigonometriese identiteite. Daar is ongeveer 31, waarvan 14 trigonometriese identiteite, van 19 tot 31, ook wel die transformasie-identiteite, omdat hulle gebruik word by die omskakeling van trigonometriese vergelykings. Sien bostaande boek.
  • Voorbeeld 5: Die trigonometriese vergelyking: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan met behulp van trigonometriese identiteite omgeskakel word in `n produk van trigonometriese basisvergelijkingen: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 . Die trigonometriese basisvergelijkingen om op te los, is: cos x = 0 - sin (3x / 2) = 0 - en cos (x / 2) = 0.
  • Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 4
    4


    Bepaal die kurwes waarvan die trigonometriese funksies bekend is.
  • Voordat jy kan leer hoe om trigonometriese vergelykings op te los, moet jy weet hoe om vinnig die kurwes te vind waarvan die trigonometriese funksies bekend is. Gesprekwaardes van kurwes (of hoeke) kan bepaal word met trigonometriese tabelle of die sakrekenaar.
  • Voorbeeld: Los op vir cos x = 0.732. Die sakrekenaar gee x = 42,95 grade as oplossing. Die eenheidsirkel gee ander krommes met dieselfde waarde vir die kosinus.
  • Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 5
    5
    Teken die boog van die antwoord op die eenheidsirkel.
  • U kan `n grafiek skep om te illustreer wat die oplossing op die eenheidsirkel is. Die eindpunte van hierdie krommes bestaan ​​uit gewone poligone op die trigonometriese sirkel. Enkele voorbeelde:
  • Die eindpunte van die kromme x = Pi / 3 + k.Pi / 2 is `n vierkant op die eenheidsirkel.
  • Die krommes van x = Pi / 4 + k.Pi / 3 word voorgestel deur die koördinate van `n seskant op die eenheidsirkel.
  • Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 6
    6
    Leer hoe om die oplossing van trigonometriese vergelykings aan te pak.
  • As die gegewe trigonometriese vergelyking slegs een trigonometriese funksie bevat, los dit op as `n standaard trigonometriese vergelyking. As die gegewe vergelyking twee of meer trigonometriese funksies bevat, is daar 2 oplossingsmetodes, afhangende van die opsies vir die omskakeling van die vergelyking.
  • A. Metode 1.
  • Sit die trigonometriese vergelyking om in `n produk van die vorm: f (x) .g (x) = 0 or f (x) .g (x) .h (x) = 0, waarby f (x), g (x ) en h (x) is trigonometriese basiese vergelykings.
  • Voorbeeld 6. Los op: 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2Pi)
  • Oplossing. Vervang sonde 2x in die vergelyking met die identiteit: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
  • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Los vervolgens 2 standaard trigonometriese funksies op: cos x = 0, en (sin x + 1) = 0.
  • Voorbeeld 7. Los: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2Pi)
  • Oplossing: Sit hierdie om in `n produk, met behulp van die trigonometriese identiteite: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Los nou die 2 Trigonometriese basisvergelijkingen op: cos 2x = 0, en (2cos x + 1) = 0.
  • Voorbeeld 8. Los op: sonde x - sonde 3x = cos 2x. (0 < x < 2Pi)
  • Oplossing: Sit hierdie om in `n produk, met behulp van die trigonometriese identiteite: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Los nou die 2 Trigonometriese basisvergelijkingen op: cos 2x = 0, en (2sin x + 1) = 0.
  • B. Benadering 2.
  • Verander die trigonometriese vergelyking in `n trigonometriese vergelyking met slegs een unieke trigonometriese funksie as `n veranderlike. Daar is `n paar wenke oor hoe om `n geskikte veranderlike te kies. Algemene veranderlikes is: sin x = t-cos x = t-cos 2x = t, tan x = t en tan (x / 2) = t.
  • Voorbeeld 9. Los op: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2Pi).
  • Oplossing. In die vergelyking (cos ^ 2 x) substituut (1 - sin ^ 2 x), en vereenvoudig die vergelyking:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Gebruik nou sin x = t. Die vergelyking is: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dit is `n tweedegraadsvergelijking met 2 wortels: t1 = -1 en t2 = 9/5. Ons kan die tweede t2 verwerp omdat > 1. Los nou op vir: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
  • Voorbeeld 10. Los op: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
  • Oplossing. Gebruik tan x = t. Sit die gegewe vergelyking om in `n vergelyking met t as veranderlike: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Los op vir t vanuit hierdie produk, en los dan die standaard trigonometriese vergelyking tan x = t op vir x .
  • Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 7
    7
    Los spesiale trigonometriese vergelykings op.
  • Daar is `n paar spesiale trigonometriese vergelykings wat `n aantal spesifieke omskakelings vereis. voorbeelde:
  • a * sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c -
  • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
  • Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 8
    8
    Leer die periodiese eienskappe van trigonometriese funksies.
  • Alle trigonometriese funksies is periodies, wat beteken dat hulle na dieselfde waarde na `n rotasie oor `n tydperk terugkeer. voorbeelde:
  • Die funksie f (x) = sin x het 2Pi as `n periode.
  • Die funksie f (x) = tan x het Pi as `n periode.
  • Die funksie f (x) = sin 2x het Pi as `n periode.
  • Die funksie f (x) = cos (x / 2) het 4Pi as die periode.
  • As die tydperk in die stellings / toets gespesifiseer word, is dit net nodig om die kromme (e) x binne hierdie tydperk te vind.
  • AANDAG: Die oplos van `n trigonometriese vergelyking is moeilik en lei dikwels tot foute en foute. Daarom moet die antwoorde noukeurig nagegaan word. Na die oplossing kan jy die antwoorde nagaan met behulp van `n grafiese sakrekenaar, vir `n direkte voorstelling van die gegewe trigonometriese vergelyking R (x) = 0. Die antwoorde (as wortel) word in desimale plekke agter die komma gegee. As voorbeeld het Pi `n waarde van 3,14
    • Deel op sosiale netwerke:

    Verwante