nemuchtorstont.ru

Skep `n grafiek van `n funksie

`N Tweedegraadse vergelyking word as `n grafiek getoon ax2

conținut

+ bx + c , ook wat geskryf is as a (x - h)2 + k, lyk soos `n gladde kromme in `n U-vorm. Ons noem hierdie een parabool. Om `n grafiek van `n tweedegraadse vergelyking te maak, het te doen met die vind van die boonste, die rigting en ook dikwels die kruisings met die x-as en die y-as. In die geval van die relatief eenvoudige tweedegraadse vergelyking, kan dit ook genoeg wees om `n aantal waardes vir x in te voer om hierdie punte in die koördinaatstelsel aan te dui, waarna die parabool geteken kan word. Gaan voort met stap 1 om mee te begin.

stappe

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 1
1
Bepaal watter tweede graadvergelyking jy het. Dit kan op twee maniere geskryf word: die standaardnotasie en die hoekpuntnotasie (`n ander manier om die wortelformule te skryf). Albei kan gebruik word om `n grafiek van `n tweedegraadse vergelyking te maak, maar hierdie proses is effens anders in beide gevalle. Gewoonlik sal jy die standaardvorm ontmoet, maar dit maak beslis geen pyn om te leer om albei vorms te gebruik nie. Die twee vorme van `n tweedegraadse vergelyking is:
  • Die standaardvorm. Die tweedegraadse vergelyking word hier aangetoon as: f (x) = ax2 + bx + c waar a, b en c is reële getalle en a is nie gelyk aan nul nie.
  • Twee voorbeelde van standaard tweedegraadvergelykings: f (x) = x2 + 2x + 1 en f (x) = 9x2 + 10x -8.
  • Die hoekpunt vorm. Hier word die tweede graadvergelyking genoteer as: f (x) = a (x - h)2 + k waar a, h, en k is reële getalle en a is nie gelyk aan nul nie. Hierdie vorm heet vertex omdat h en k direk na die bokant van jou parabool verwys (h, k).
  • Twee voorbeelde van vergelykings in verteksvorm is f (x) = 9 (x - 4)2 + 18 en -3 (x - 5)2 + 1
  • Om `n grafiek uit hierdie vergelykings te kan maak, bepaal ons eers die boonste (h, k) van die grafiek. In die standaardvergelyking vind u dit via: h = -b / 2a en k = f (h), terwyl dit reeds in die hoek gegee word omdat h en k in die vergelyking is.
  • Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 2
    2
    Bepaal jou veranderlikes. Ten einde `n kwadratiese vergelyking op te los, is dit gewoonlik nodig om die veranderlikes a, b en c (of a, h, en k) te bepaal. `N Gewone taak sal jou `n tweedegraadse vergelyking in die standaardvorm gee, maar die verteksnotasie kan ook voorkom.
  • Byvoorbeeld: die standaardfunksie f (x) = 2x2 +16x + 39. Hier het ons a = 2, b = 16, en c = 39.
  • In hoekpuntnotasie: f (x) = 4 (x - 5)2 + 12. Hier het ons a = 4, h = 5, en k = 12.
  • Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 3
    3
    Bereken h. In die verteksnotasie word die waarde van h reeds gegee, maar in die standaardnotasie moet hierdie waarde nog nie bereken word nie. Onthou dat die standaardvergelyking hou: h = -b / 2a.
  • Voorbeeld 1. (f (x) = 2x2 +16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Deur dit op te los sien ons dat h = -4.
  • Voorbeeld 2. (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12), sien ons dadelik dat h = 5.
  • Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 4
    4
    Bereken k. Soos met h, is k reeds in vergelykings in die verteksvorm bekend. Vir vergelykings in die standaardnotasie, kan jy onthou dat k = f (h). Met ander woorde, jy kan k vind deur elke veranderlike x met die waarde van h te vervang.
  • Byvoorbeeld, ons het gesien dat h = -4. Om nou te vind k, los ons hierdie vergelyking op deur hierdie waarde van h in die vergelyking vir die veranderlike x in te voer:
  • k = 2 (-4)2 + 16 (-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 +39.
  • k = 32 - 64 + 39 = 7
  • Uit voorbeeld 2 weet ons dat die waarde van k gelyk is aan 12, sonder dat `n berekening benodig word.
  • Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 5
    5
    Teken die boonste of die dal van die grafiek. Die hoogtepunt of die vallei van jou parabool is die punt (h, k) - h stel die x koördinaat voor en k verteenwoordig die y koördinaat. Die boonste punt is die middelpunt van jou parabool - die hoogste of laagste punt, die top of die vallei, van `n grafiek in die vorm van `n "U" of andersom. Om die boonste van `n parabool te bepaal, is `n noodsaaklike deel van `n korrekte grafiek. `N Parabool word dikwels bepaal deur `n wiskundeprobleem by die skool.
  • In voorbeeld 1 is die bokant van die grafiek (-4.7). Teken die punt in jou grafiek en maak seker dat jy die korrekte koördinate het.
  • In voorbeeld 2 is die bokant (5.12). Dus vanaf die punt (0,0) gaan jy 5 plekke regs en dan 12 opwaarts.


  • Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 6
    6
    Teken indien nodig die simmetrie-as van die parabool. Die simmetrie-as van `n parabool is die lyn wat die figuur in die middel sny en dit presies in die helfte verdeel. Een kant van die grafiek word langs die lyn in die ander kant van die grafiek weerspieël. In tweedegraadse vergelykings van beide die vorm-byl2 + bx + c of a (x - h)2 + k, hierdie as is die lyn parallel aan die y-as wat deur die bokant van die parabool beweeg.
  • In die geval van voorbeeld 1 is die simmetrie-as die lyn parallel aan die y-as en gaan deur die punt (-4, 7). Alhoewel dit nie deel van die parabool self is nie, kan die ligte aanduiding van hierdie hulplyn jou wys hoe simmetries die kromme van die parabool is.
  • Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 7
    7
    Bepaal die rigting van die parabool. Nadat jy ontdek het wat die bopunt van die parabool is, is dit nodig om te weet of jy met `n berg of `n valparabool te doen het, dus of die opening onder of bo is. Gelukkig is dit baie eenvoudig. as "a" Dit is positief dat jy met `n valleieparabool moet handel "a" negatief dan is dit `n bergparabool (met die opening aan die onderkant)
  • In voorbeeld 1 het ons te make met die funksie (f (x) = 2x2 +16x + 39), en dit is `n valleiparabool, want a = 2 (positief).
  • In voorbeeld 2 het ons te make met die funksie f (x) = 4 (x - 5)2 + 12), en dit is ook `n valparabool omdat a = 4 (positief).
  • Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 8
    8
    Bepaal, indien nodig, die kruisings van die parabool. Dikwels word wiskunde gevra om die kruisings van die parabool met die x-as te gee (dit is "nul", één of twee punte waar die parabool die x-as sny of raak. Selfs as dit nie aangevra word nie, is hierdie punte baie belangrik om `n akkurate grafiek te kan teken. Maar nie alle parabolas het `n kruising met die x-as nie. As jy te doen het met `n valparabool en die dalpunt bo die x-as is, of, in die geval van `n bergparabool, net onder die x-as, is daar eenvoudig geen snypunte nie. As dit die geval is, gebruik een van die volgende metodes:
  • Bepaal f (x) = 0 en los die vergelyking op. Hierdie metode kan werk vir eenvoudige tweedegraadse vergelykings, seker in die verteksvorm, maar jy sal vind dat dit toenemend moeilik word aangesien die funksies meer kompleks word. Hier is `n paar voorbeelde.
  • f (x) = 4 (x - 12)2
  • 0 = 4 (x - 12)2 - 4
  • 4 = 4 (x - 12)2
  • 1 = (x - 12)2
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/ - 1 = x -12. x = 11 en 13 is die kruisings met die x-as van die parabool.
  • Los die vergelyking op in faktore. Sommige vergelykings in die vorm byl2 + bx + c kan maklik herskryf word as (dx + e) ​​(fx + g), waar dx × fx = byl2, (dx × g + fx × e) = bx, en e × g = c. In hierdie geval is die x-kruisingspunte die waardes van x met elke term binne die hakies gelyk aan 0. Byvoorbeeld:
  • x2 + 2x + 1
  • = (x +1) (x + 1)
  • In hierdie geval is die kruising gelyk aan -1 omdat hierdie, wat in albei faktore gegee word, nul lewer.
  • Gebruik die abc formule. As dit nie maklik is om agter die kruisings te kom nie, of om die vergelyking in faktore te ontbind, gebruik die "abc formule" spesiaal bedoel vir hierdie doel. Aanvaar `n vergelyking in die vorm byl2 + bx + c. Voer dan die waardes van a, b en c in die formule x = (-b +/- SqRt (b2 - 4ac)) / 2a. Let daarop dat jy dikwels twee antwoorde vir x kry, wat goed is - dit beteken eenvoudig dat jou parabool twee snypunte met die x-as het. Hier is `n voorbeeld:
  • -5x2 + U gee 1x + 10 in die vergelyking op die volgende manier:
  • x = (-1 + / - SqRt (12 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
  • x = (-1 + / - SqRt (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 + / - SqRt (201)) / - 10
  • x = (-1 + / - 14,18) / - 10
  • x = (13.18 / -10) en (-15.18 / -10). Die kruisings van die parabool met die x-as is ongeveer x = -1,318 en 1,518
  • Soos in voorbeeld 1 met die vergelyking 2x2 + 16x + 39 dit lyk soos volg:
  • x = (-16 + / - SqRt (162 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
  • x = (-16 + / - SqRt (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 + / - SqRt (-56) / - 10
  • Omdat dit nie moontlik is om die wortel van `n negatiewe getal te vind nie, weet ons dat daar geen kruisings met die x-as vir hierdie spesifieke parabool is nie.
  • Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 9
    9
    Bepaal indien nodig die snypunt van die parabool met die y-as. Dit is dikwels nie nodig nie, maar soms nodig om hierdie snypunt te kry, byvoorbeeld vir `n wiskunde-opdrag. Dit is redelik maklik - stel die waarde van x na 0 en los die vergelyking vir f (x) of y op, wat die y-waarde van die punt gee waar die parabool met die y-as sny. Die verskil met die kruispunte deur die x-as is dat daar altyd net een kruising by die y-as is. Let wel - vir standaardvergelykings is die snypunt met die y-as y = c.
  • Byvoorbeeld, ons ken ons tweedegraadse vergelyking 2x2 + 16x + 39 het `n kruising y = 39, maar ons kan dit ook as volg vind:
  • f (x) = 2x2 + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)2 + 16 (0) + 39
  • f (x) = 39. Die snypunt van die parabool met die y-as: y = 39. Soos reeds hierbo aangedui, kan ons die kruispunt maklik lees omdat y = c.
  • Die vergelyking 4 (x - 5)2 + 12 het `n kruising met die y-as wat as volg gevind kan word:
  • f (x) = 4 (x - 5)2 + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)2 + 12
  • f (x) = 4 (-5)2 + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12
  • f (x) = 112. Die kruising met die y-as: y = 112.
  • Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 10
    10
    As jy dit nodig vind, teken eers ekstra punte en dan die hele grafiek. Jy het nou `n top of `n vallei, `n rigting, kruisings met die x-as en moontlik met die y-as van jou vergelyking. Van hierdie punt kan jy probeer om die parabool met hierdie punte te teken, of jy kan probeer om meer punte te vind sodat die grafiek meer akkuraat word. Die maklikste manier om dit te doen is om eenvoudig `n aantal x-waardes in te vul wat `n aantal y-waardes oplewer. Dikwels sal dit deur die onderwyser gevra word om eers `n aantal punte te bereken voordat jy die parabool kan begin teken.
  • Kom ons kyk weer na die vergelyking x2 + 2x + 1. Ons weet reeds dat die enigste snypunt met die x-as is (-1,0). Aangesien dit slegs op die punt van die x-as raak, kan ons aflei dat die bokant van die grafiek gelyk is aan hierdie punt. Tot dusver het ons net een punt van hierdie parabool - nie amper genoeg om `n grafiek te teken nie. Kom ons neem nog `n paar punte om te verseker dat ons meer waardes het.
  • Kom ons probeer om die y-waardes wat aan die volgende x-waardes behoort, te vind: 0, 1, -2 en -3.
  • x = 0: f (x) = (0)2 + 2 (0) + 1 = 1. Dan is die punt (0,1).
  • x = 1: f (x) = (1)2 + 2 (1) + 1 = 4. Dan is die punt (1,4).
  • x = -2: f (x) = (-2)2 + 2 (-2) + 1 = 1. Dan is die punt (-2,1).
  • x = -3: f (x) = (-3)2 + 2 (-3) + 1 = 4. Dan is die punt (-3,4).
  • Plaas hierdie punte in die grafiek en teken jou parabool. Let daarop dat die parabool heeltemal simmetries is. As jy die punte aan die een kant van die grafiek ken, kan jy gewoonlik baie werk spaar deur hierdie punte te gebruik om die punte aan die ander kant van die simmetrie-as te vind. .

    • wenke

    • Rond getalle indien nodig of gebruik breuke. Dit kan help om `n grafiek korrek te vertoon.
    • Let daarop dat as, met die funksie f (x) = byl2 + bx + c, b of c is nul, die terme sal verdwyn. Byvoorbeeld 12x2 + 0x + 6 word gelyk aan 12x2 + 6 omdat 0x gelyk is aan 0.
    Deel op sosiale netwerke:

    Verwante