Los tweedegraadse vergelykings op in faktore
`N Polinoom bevat `n veranderlike (x) tot `n sekere krag, en verskeie terme en / of konstantes. Om `n polinoom in faktore te ontbind, moet u die uitdrukking breek in kleiner uitdrukkings wat vermenigvuldig word. Dit vereis `n sekere wiskundige vlak en kan dus moeilik wees om te verstaan, as jy nog nie so ver is nie.
conținut
stappe
Die begin
1
Die vergelyking. Die standaardformaat vir `n kwadratiese vergelyking is:
ax2 + bx + c = 0
Begin deur die terme in u vergelyking te rangskik, van die hoogste na die laagste krag. Neem byvoorbeeld:
6 + 6x2 + 13x = 0
Ons sal hierdie uitdrukking herrangskik om dit makliker te maak om mee te werk - bloot deur die terme te verskuif:
6x2 + 13x + 6 = 0
Begin deur die terme in u vergelyking te rangskik, van die hoogste na die laagste krag. Neem byvoorbeeld:
Ons sal hierdie uitdrukking herrangskik om dit makliker te maak om mee te werk - bloot deur die terme te verskuif:
2
Vind die faktore deur een van die volgende metodes te gebruik. Die ontbinding in faktore van die polinoom sal twee kleiner uitdrukkings tot gevolg hê wat saam vermenigvuldig kan word om die oorspronklike polinoom te kry:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In hierdie voorbeeld is (2x +3) en (3x + 2) faktore van die oorspronklike uitdrukking, 6x2 + 13x + 6.
In hierdie voorbeeld is (2x +3) en (3x + 2) faktore van die oorspronklike uitdrukking, 6x2 + 13x + 6.
3
Gaan jou werk na! Vermenigvuldig die faktore wat jy gevind het. Kombineer die gelyke terme en jy is klaar. Begin met:
(2x + 3) (3x +2)
Kom ons toets dit deur die terme te vermenigvuldig met behulp van EBBL (eerste - buitenste - binneste), sodat ons kry:
6x2 + 4x + 9x + 6
Nou tel ons 4x en 9x saam omdat dit gelyke terme is. Ons weet dat die faktore korrek is omdat ons die vergelyking wat ons begin het, terugkry:
6x2 + 13x + 6
Kom ons toets dit deur die terme te vermenigvuldig met behulp van EBBL (eerste - buitenste - binneste), sodat ons kry:
Nou tel ons 4x en 9x saam omdat dit gelyke terme is. Ons weet dat die faktore korrek is omdat ons die vergelyking wat ons begin het, terugkry:
Metode 1
Proef en fout
As jy `n redelik eenvoudige polinoom het, kan jy dadelik sien wat die faktore is. Byvoorbeeld, na sommige oefening kan baie wiskundiges daardie uitdrukking sien 4x2 + 4x +1 Die faktore (2x + 1) en (2x + 1) het net omdat hulle dit so dikwels gesien het. (Dit sal natuurlik nie so maklik wees met meer komplekse polinoom nie.) Kom ons neem `n minder standaard uitdrukking in hierdie voorbeeld:
1
Skryf die faktore van die a termyn en die c term. Gebruik die uitleg ax2 + bx + c = 0, herken die a en c terme en let op watter faktore daar is. Vir 3x2 + 2x - 8, dit beteken:
a = 3 en het 1 paar faktore: 1 * 3
c = -8 en dit het 4 pare faktore: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, en -1 * 8.
2
Skryf twee pare hakies neer met `n leë spasie. Hier betree jy die konstantes van elke uitdrukking:
(x) (x)
3
Vul die spasie vir die x`s met `n aantal moontlike faktore van die a waarde. Vir die a term in ons voorbeeld, 3x2, daar is slegs 1 moontlikheid:
(3x) (1x)
4
Vul die 2 spasies na die x`s in, met `n paar faktore vir die konstantes. Gestel ons kies 8 en 1. Tik hierdie:
(3x 8) (x 1)
5
Bepaal watter karakters (plus of minus) tussen die x veranderlikes en die nommers moet wees. Afhangende van die karakters van die oorspronklike uitdrukking, is dit moontlik om uit te vind wat die tekens van die konstantes moet wees. Kom ons kyk na die twee konstantes van die twee faktore h en k noem:
As `n byl2 + bx + c dan (x + h) (x + k)
As `n byl2 - bx - c of byl2 + bx - c dan (x - h) (x + k)
As `n byl2 - bx + c dan (x - h) (x - k)
In ons voorbeeld, 3x2 + 2x - 8, is die teken: (x - h) (x + k), waarmee ons die volgende twee faktore kry:
(3x + 8) en (x - 1)
In ons voorbeeld, 3x2 + 2x - 8, is die teken: (x - h) (x + k), waarmee ons die volgende twee faktore kry:
6
Toets jou keuse met die eerste-buite-binne-laaste vermenigvuldiging. `N Vinnige eerste toets om te sien of die middeltermyn ten minste die regte waarde het. As dit nie die geval is nie, het jy waarskynlik die verkeerde een c gekose faktore. Kom ons toets die antwoord:
(3x + 8) (x - 1)
Deur vermenigvuldiging kry ons:
3x2 - 3x + 8x - 8
Vereenvoudig hierdie uitdrukking deur dieselfde terme (-3x) en (8x) by te voeg, en dan kry ons:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Ons weet nou dat ons die verkeerde faktore geneem het:
3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8
Deur vermenigvuldiging kry ons:
Vereenvoudig hierdie uitdrukking deur dieselfde terme (-3x) en (8x) by te voeg, en dan kry ons:
Ons weet nou dat ons die verkeerde faktore geneem het:
7
Verander jou keuses indien nodig. In ons voorbeeld, probeer ons 2 en 4, in plaas van 1 en 8:
(3x + 2) (x - 4)
Nou is ons s`n c terme gelyk aan -8, maar die buitenste / binneste produk van (3x * -4) en (2 * x) is -12x en 2x, waarmee u nie die reg het nie b term of + 2x.
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Nou is ons s`n c terme gelyk aan -8, maar die buitenste / binneste produk van (3x * -4) en (2 * x) is -12x en 2x, waarmee u nie die reg het nie b term of + 2x.
8
Draai die bestelling indien nodig. Kom ons probeer om 2 en 4 te draai:
(3x + 4) (x - 2)
Nou is ons s`n c term (4 * 2 = 8) en nog steeds in orde, maar die buitenste / binneste produkte is -6x en 4x. As ons dit kombineer, kry ons:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Ons kom nou naby die 2x waar ons wil wees, maar die teken is nog nie korrek nie.
Nou is ons s`n c term (4 * 2 = 8) en nog steeds in orde, maar die buitenste / binneste produkte is -6x en 4x. As ons dit kombineer, kry ons:
9
Kontroleer jou tekens, indien nodig, dubbel. Ons hou hierdie bestelling, maar verander dit met die minusteken:
(3x - 4) (x + 2)
Nou is die c term nog steeds oke, en die buitenste / binneste produkte is nou (6x) en (-4x). omdat:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Ons sien nou die positiewe 2x terug van die oorspronklike probleem. Dit moet die regte faktore wees.
Nou is die c term nog steeds oke, en die buitenste / binneste produkte is nou (6x) en (-4x). omdat:
Metode 2
ontbinding
Hierdie metode dui op alle moontlike faktore a en c terme en gebruik hulle om uit te vind watter faktore die regte is. As die getalle baie groot is, of die raaiwerk van ander metodes gaan te lank neem, gebruik hierdie manier. `N Voorbeeld:
1
Vermenigvuldig die a termyn met die c term. In hierdie voorbeeld, a is 6 en c is ook 6.
6 * 6 = 36
2
Vind die b termyn deur te ontbind in faktore en toetsing. Ons is op soek na 2 nommers wat faktore van a * c , en saam die b termyn (13).
4 * 9 = 36
4 +9 = 13
3
Vervang die twee getalle wat u in u vergelyking kry as die som van die b term. Kom ons k en h neem om die 2 nommers wat ons het, te verteenwoordig 4 en 9:
ax2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
4
Faktoriseer die polinoom deur te groepeer. Organiseer die vergelyking sodat jy die grootste gemeenskaplike verdeler van die eerste twee terme en die laaste twee terme kan isoleer. Albei faktore moet dieselfde wees. Voeg die GGD`s op en plaas dit tussen hakies, benewens die faktore. As gevolg hiervan kry jy die twee faktore:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x +2) +3 (3x +2)
(2x + 3) (3x +2)
Metode 3
Triple Play
Dieselfde as die ontbindingsmetode. Die drievoudige spelmetode ondersoek die moontlike faktore van die produk van a en c en gebruik dit om uit te vind wat b moet wees. Neem die vergelyking as voorbeeld:
1
Vermenigvuldig die a termyn met die c term. Soos met die ontbindingsmetode bepaal ons die kandidate vir die b term. In hierdie voorbeeld: a is 8 en c is 2.
8 * 2 = 16
2
Vind die 2 nommers met hierdie nommer as produk en met `n som gelyk aan die b term. Hierdie stap is dieselfde as die ontbindingsmetode - ons toets kandidate vir die konstantes. Die produk van die a en c terme is 16, en die c termyn is 10:
2 * 8 = 16
8 +2 = 10
3
Neem hierdie 2 nommers en vervang hulle in die `triple play`-formule. Neem die 2 nommers van die vorige stap - laat ons dit hê h en k bel - en plaas dit in die uitdrukking:
((byl + h) (byl + k)) / a
Hiermee kry ons:
(8x + 8) (8x + 2)) / 8
Hiermee kry ons:
4
Kyk watter van die twee terme in die noemer volledig verdeel kan word deur a. In hierdie voorbeeld oorweeg ons of (8x + 8) of (8x + 2) deur 8 gedeel kan word. (8x + 8) is deelbaar met 8, dus verdeel ons hierdie terme deur a en laat die ander persoon onaangeraak word.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Die term wat ons hier gered het, is dit wat oorgebly het na deel deur die a term: (x + 1)
Die term wat ons hier gered het, is dit wat oorgebly het na deel deur die a term: (x + 1)
5
Neem die grootste gemeenskaplike verdeler (ggd) uit een of albei hierdie terme, indien dit moontlik is. In hierdie voorbeeld sien ons dat die tweede term `n ggd van 2 het, want 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombineer hierdie antwoord met die term wat jy in die vorige stap ontdek het. Dit is die faktore van u vergelyking.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metode 4
Die verskil tussen twee blokkies
Sommige koëffisiënte in `n polinoom kan as `vierkante` herken word, of ook as die produk van 2 dieselfde getalle. Deur uit te vind wat hierdie vierkante is, kan jy die polinoomse baie vinniger in faktore ontbind. Ons neem die vergelyking:
1
Verwyder die ggd uit die vergelyking, as dit moontlik is. In hierdie geval sien ons dat 27 en 12 albei deelbaar is met 3, sodat ons dit afsonderlik kan plaas:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
2
Bepaal of die koëffisiënte van jou vergelyking vierkante is. Om hierdie metode te kan gebruik, is dit nodig om die wortel van die terme te kan bepaal. (Let op dat ons die minustekens weggelaat het - omdat hierdie getalle vierkante is, kan dit voorkom dat hulle die produk is van 2 negatiewe getalle)
9x2 = 3x * 3x en 4 = 2 * 2
3
Met die hulp van die vierkantswortel wat jy bepaal het, kan jy nou die faktore afskakel. Ons neem die a en c waardes van die vorige stap: a = 9 en c = 4, dus die wortels is: - √a = 3 en √c = 2. Dit is die koëffisiënte van die gefaseerde uitdrukkings:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x +2) (3x - 2)
Metode 5
Die abc formule
As niks blyk te werk nie en jy nie die vergelyking kan ontbind nie, gebruik die abc-formule. Neem die volgende voorbeeld:
1
Voer die ooreenstemmende waardes in die ABC formule in:
x = -b ± √ (b2 - 4ac)
---------------------
2a
Ons kry nou die uitdrukking:
x = -4 ± √ (42 - 4 • 1 • 1) / 2
---------------------
2a
Ons kry nou die uitdrukking:
2
Los op vir x. Jy behoort nou 2 waardes vir x te kry. Dit is:
x = -2 + √ (3) of x = -2 - √ (3)
x = -2 + √ (3) of x = -2 - √ (3)
3
Gebruik die waardes van x om die faktore te bepaal. Gee die x-waardes wat u in die twee vergelykings as konstantes verkry het. Dit is jou faktore. As ons die twee antwoorde het h en k bel, ons skryf die twee faktore soos volg:
(x - h) (x - k)
In hierdie geval is die finale antwoord:
(X - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))
In hierdie geval is die finale antwoord:
Metode 6
Gebruik `n sakrekenaar
As dit toegelaat word (of verplig) om `n grafiese sakrekenaar te gebruik, sal dit in faktore baie makliker ontbind, veral tydens eksamens en eksamens. Die volgende instruksies is vir `n TI grafiese sakrekenaar. Ons gebruik die vergelyking uit die voorbeeld:
1
Tik die vergelyking in jou sakrekenaar in. U sal die oplosder gebruik vir vergelykings, ook bekend as die [Y =] skerm.
2
Teken `n grafiek van die vergelyking met die sakrekenaar. Het jy die vergelyking ingevoer, druk dan op [GRAPH] - jy hoor nou `n geboë lyn, `n parabool te sien as grafiese voorstelling van jou vergelyking (en dit is `n parabool, omdat ons met `n polinoom te maak het).
3
Vind uit waar die parabool met die x-as sny. Omdat `n tweedegraadse vergelyking tradisioneel as byl beskou word2 + bx + c = 0, dit is die twee x waardes wat verseker dat die vergelyking gelyk is aan nul:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
4
Gee die x-waardes wat jy in die twee beëindigde uitdrukkings verkry het, in. As ons die twee x-waardes het h en k Nota as `n term, die uitdrukking wat ons gebruik, lyk soos volg:
(x - h) (x - k) = 0
Dus word ons twee faktore:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Dus word ons twee faktore:
wenke
- As u die polinoom met die abc-formule opgelos het en u antwoord bevat wortels, kan u die x-waardes omskep om dit te kontroleer.
- As `n term nie `n koëffisiënt daarvoor het nie, dan is die koëffisiënt gelyk aan 1, bv. X2 = 1x2.
- As jy `n TI-84 sakrekenaar het, is daar `n program genaamd SOLVER wat `n kwadratiese vergelyking vir jou kan oplos. Dit oplos ook hoërgraad polinoom.
- Na baie oefening sal jy uiteindelik daarin slaag om polinoom van jou kop af te los. Maar dit is beter om dit altyd uit te skryf.
- As `n term nie bestaan nie, is die koëffisiënt gelyk aan nul. Dan kan dit nuttig wees om die vergelyking te herskryf. Bv. x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
waarskuwings
- As jy hierdie konsep in wiskunde leer, moet jy aandag gee aan wat die onderwyser verduidelik en nie net jou eie gunsteling-metode gebruik nie. U mag gevra word om `n spesifieke metode met `n toets te gebruik, of dat grafiese sakrekenaars nie toegelaat word nie.
voorrade
- potlood
- papier
- Kwadratiese vergelyking (ook `n tweedegraadse vergelyking)
- Grafiese sakrekenaar (opsioneel)
Deel op sosiale netwerke:
Verwante
Vind die ekstreme waarde van `n vergelyking
Bepaal die graad van `n polinoom
Vind die nulle van `n funksie
Vind die vergelyking van `n raaklyn
Los `n algebraïese uitdrukking op
`N Derde graad polinoom ontbind in faktore
Los `n derdegraadvergelyking op
Skep `n grafiek van `n funksie
Vind die kruising met die x-as
Los kwadratiese vergelykings op
Los op in faktore
Los vergelykings op met breuke
Vermindering van vergelykings in faktore
Vereenvoudig wiskundige uitdrukkings
Vermenigvuldig wortelgetalle
Om wortels te vereenvoudig
Die wortels bepaal `n tweedegraadse vergelyking
Integreer
Kwadrate uit vierkante
Deel polinome sinteties
Vereenvoudig wiskundige vergelykings